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Méthode numérique d'évaluation de la consolidation

Consolidation

Dans l’analyse des contraintes standard, le programme GEO5 MEF permet deux approches spécifiques pour la modélisation de l’action de la pression interstitielle sur le corps de sol. En conditions non drainées, il est supposé que toutes les limites entourant le sol non drainé sont imperméables, le sol est considéré comme volumétriquement incompressible et la charge appliquée engendre d'une surpression interstitielle dans cette couche. L'introduction de conditions aux limites appropriées induisant une dissipation progressive de la surpression interstitielle permet le passage en conditions drainées. Dans ce cas, nous supposons que la pression interstitielle résultante n'est plus influencée par la déformation du sol. La transition de conditions drainées vers des conditions non drainées décrit la théorie de la consolidation.

Le terme consolidation désigne la déformation du sol au court du temps provoquée par une charge externe, qui peut être constante ou dépendante du temps. C'est un processus de rhéologie. Dans le cas présent, nous limitons notre attention à la consolidation dite primaire caractérisée par la réduction du volume des pores et donc par la modification de la structure interne du sol due à la charge accompagnée de la fuite de l'eau des pores. L'analyse suppose un sol complètement saturé. L'analyse de consolidation dans un sol partiellement saturé n'est pas abordée par le programme. L'équation directrice décrivant l'écoulement de l'eau (équation de continuité, représente une dérivée temporelle d'une quantité donnée) dans un corps de sol complètement saturé (, ) se déformant est fournie par (cf. l'équation de Richards pour la description d'un écoulement d'eau transitoire) :

Le taux de variation de la pression totale est donné par :

On note que la pression interstitielle totale p est la somme de la pression interstitielle à l'état d'équilibre p_ss et de la surpression interstitielle p_ex. On a :

L'équation de continuité (1) peut donc s'écrire :

en adoptant la condition limite d'une surpression intersitielle nulle à la frontière ayant une pression donnée, on a :

et l'écoulement nulle (q(t) = 0) à travers la frontière ayant une densité d'écoulement d'eau donnée :

Voir : Définition des conditions limites hydrauliques.

La contrainte globale est alors donnée par :

Les valeurs courantes des déformations et des surpressions interstitielles dans l'équation (7) découlent de l'application des équations statiques d'équilibre et de l'équation de continuité (4) dans la solution du problème des contraintes couplées et du transport d'eau en utilisant le principe des déplacements virtuels. Comme dans le cas de l'analyse des écoulements d'eau transitoires, la méthode d’Euler directe totalement implicite est adoptée pour la discrétisation temporelle de l’équation (4). Les références [1,2,3] fournissent de plus amples détails.

Analyse de la consolidation

Comme dans le cas de l'analyse transitoire de écoulements d’eau, la première étape de calcul sert à définir les conditions initiales, c’est-à-dire la répartition de la contrainte géostatique et de la pression interstitielle en régime permanent. Les valeurs de pression en régime permanent sont aussi égales aux valeurs de pression globales à la fin de la consolidation. Les valeurs initiales de la pression interstitielle sont définies en spécifiant uniquement la nappe phréatique. Il convient de noter que, même si la nappe se trouve à l'intérieur du corps de sol analysé, le sol situé sous et au-dessus de la nappe est supposé totalement saturé. Ceci s'applique également aux sols introduits dans l'analyse lors des étapes de calcul suivantes (activation de nouvelles régions). Retirer ou excaver les sols (désactiver les régions existantes) n'est pas possible avec la version actuelle du programme. L'analyse de la consolidation proprement dite est effectuée à partir de la deuxième étape et nécessite de définir les conditions hydrauliques aux limites, la durée d'une étape de calcul donnée, le nombre de pas de temps attendu et le moyen d'introduire la charge dans l'analyse.

Définition des conditions hydrauliques aux limites

Le programme permet d’introduire deux types de conditions hydrauliques aux limites, cf. équations (5) et (6):

• Condition de pression interstitielle nulle (p = 0), qui permet un écoulement libre de l'eau du corps du sol, c’est-à-dire une condition représentant une limite perméable. Plus précisément, cette condition correspond à une valeur nulle de la surpression interstitielle p_ex. La valeur globale de la pression interstitielle le long de cette limite est donc égale à p_ss. Il s'agit d'une condition aux limites par défaut. Elle est supposée le long de toutes les limites du domaine externe, donc également le long des limites externes des nouvelles régions.
• Condition de densité d'écoulement nulle (aucun flux entrant/sortant , q = 0), c’est-à-dire une condition représentant une limite imperméable. Si nécessaire, cette condition doit être introduite manuellement.

Le choix d'une condition aux limites donnée influence la vitesse de consolidation. La référence [1] fournit de plus amples détails.

Définition de la taille du pas de temps - nombre prévu de pas de temps dans une étape donnée

Contrairement à l'écoulement d’eau transitoire, l’analyse du pas de temps initial (valeur discrète de l’incrément de temps lors de la résolution de l’équation (4)) n’est pas affectée directement en cas de consolidation. Au lieu de cela, cette étape est définie sur la base de la durée spécifiée de l’étape de calcul et du nombre saisi d’intervalles de temps attendus pour une étape donnée. En cas de consolidation linéaire (tous les sols sont supposés être linéairement élastiques), le nombre de pas de temps est conservé. Une réduction du pas de temps peut avoir lieu en cas de consolidation non linéaire, si un manque de convergence pour le pas de temps courant est rencontré. Ce qui augmente le nombre d'étapes pour terminer les calculs de l'étape. Lors de la spécification du nombre d'étapes par rapport à la durée de l'étape, il convient de garder à l'esprit qu'en début de consolidation, le pas de temps doit être relativement petit (en particulier lorsqu'il s'agit d'une étape de charge associée à une consolidation non linéaire), alors que pour un processus graduel de consolidation le pas de temps peut atteindre plusieurs dizaines de jours. La référence [1] fournit de plus amples détails.

Introduction de la charge dans le calcul

Comme dans le cas d’une analyse d'écoulements transitoires, le programme n’offre que deux options :

• La charge est appliquée à une étape au début de la phase de calcul. Plus spécifiquement, on suppose une augmentation linéaire de la charge sur le premier pas de temps. Ainsi, si nous nous intéressons au comportement lorsque t → 0, il est nécessaire de choisir de manière appropriée la combinaison du nombre de pas de temps et de la durée de la première étape (par exemple 1 et 0,001). En cas de pas de temps très court et de limites imperméables (q = 0), nous simulons la réponse d'un sol volumétriquement incompressible (K → ∞) avec une valeur finie du module de cisaillement. Les résultats pour t → 0 s'accorderont alors bien avec les résultats issus de l'analyse des contraintes standard avec des sols non drainés. Plus de détails peuvent être trouvés dans [1].
• La charge augmente linéairement au cours de la phase de calcul. L'incrément de charge dépend alors de la valeur du pas de temps courant. Surtout en cas de consolidation non linéaire, il convient de spécifier correctement le laps de temps pendant lequel la charge est introduite pour éviter les difficultés de convergence.

Dans la mesure où il n’y a pas de variation de charge à un stade donné, les options de réglage ci-dessus ne sont pas pertinentes.

Application d'éléments de poutre en consolidation

La perméabilité de la poutre dépend de son emplacement et du choix des conditions hydrauliques aux limites. Une poutre située à l'intérieur du sol est imperméable dans sa direction normale. Sur les limites de domaine, la perméabilité de la poutre dans la direction normale, comme dans le cas d'analyses d'écoulement d'eau, est déterminée par la condition aux limites sélectionnée. En cas de limite perméable (p = 0), la poutre sur cette limite est totalement perméable, alors que dans le cas d'une limite imperméable (q = 0), la poutre sur cette limite est également imperméable.

Application d'éléments de contact en consolidation

La raison d’introduire des éléments de contact dans l’analyse est double. Premièrement, nous souhaitons permettre un décalage mutuel relatif entre deux sols, le sol et la roche ou le sol et un élément de poutre, par exemple dans l'analyse de l'interaction d'un sol avec une structure de soutènement. Deuxièmement, l’objectif est de modéliser un drain potentiel le long d'une poutre ou en général le long d’une ligne à laquelle l’élément de contact est affecté. Dans tous les cas, il convient de réaliser une simulation couplée des deux phénomènes, c’est-à-dire que l’analyse des contraintes et des écoulements d’eau sont effectuée simultanément. Sauf indication contraire, le programme suppose que l'écoulement dans un élément de contact dépend de la perméabilité des sols environnants dans les directions longitudinale et transversale. En cas de contact attaché à l'élément de poutre, la perméabilité normale k_n n'est pas pertinente car la poutre est supposés dans cette direction soit totalement imperméable (k_n = 0), soit totalement perméable (k_n → ∞), cf. "Application d'éléments de poutre en consolidation".

Commentaires d'ordre général

L'évolution temporelle de chaque variable (par exemple le tassement ou la surpression interstitielle) sera en cas de consolidation linéaire toujours bornée par la solution de l’analyse des contraintes lorsqu’on considère soit des sols non drainés (tous les sols actifs du domaine analysé sont spécifiés comme non drainés), soit des sols drainés (paramétrage standard, tous les sols actifs des domaines analysés sont spécifiés comme drainés). Ce dernier cas coïncide avec l'analyse en régime permanent avec dissipation totale de la surpression interstitielle. Les résultats de l'analyse des contraintes linéaires avec les sols drainés et de la consolidation linéaire déduits à t → ∞ doivent être identiques. Cependant, cela ne vaut pas pour les analyses non linéaires car dans de tels cas le principe de superposition n'est pas applicable. Plus de détails peuvent être trouvés dans [1].

Contrairement aux analyses d'écoulement d'eau, la solution de consolidation nécessite l'application d'éléments d'ordre supérieur (par exemple, des éléments triangulaires à 6 nœuds ou quadrilatéraux à 8 nœuds). Alors que les déplacements sont calculés à tous les nœuds d'un élément donné (approximation quadratique du champ de déplacement), la pression interstitielle est calculée aux nœuds d'angle uniquement (approximation linéaire de la pression interstitielle).

Contrairement à la consolidation unidimensionnelle mise en œuvre dans le programme "Tassement", pour les tâches de consolidation bidimensionnelle, à t → 0, seule la déformation volumique et donc la contrainte effective moyenne sont proches de zéro, ce qui généralement n'est pas le cas des composantes du vecteur de déplacement.

Littérature:

[1] M. Šejnoha, T. Janda, H. Pruška, M. Brouček, Metoda konečných prvků v geomechanice: Teoretické základy a inženýrské aplikace, předpokládaný rok vydání (2015)

[2] Z. Bittnar and J. Šejnoha, Numerické Metody Mechaniky II. České vysoké učení technické v Praze, 1992

[3] Z. Bittnar and J. Šejnoha, Numerical methods in structural engineering, ASCE Press, 1996