Spencer
El método de Spencer es un método general de cortes basándose en el equilibrio límite. Se requiere satisfacer el equilibrio de fuerzas y momentos actuando en bloques individuales. El bloque es creado mediante la división del suelo sobre la superficie de deslizamiento dividiendo planos. Las fuerzas actuando en bloques individuales se muestran en la siguiente figura:
Esquema estático – Método Spencer
Cada bloque asume una contribución debido a las siguientes fuerzas:
Wi | - | Peso del bloque, incluyendo material de sobrecarga que tenga el carácter del peso incluyendo la influencia del coeficiente vertical de sismo Kv |
Kh*Wi | - | Fuerza de inercia horizontal representando el efecto del sismo Kh, es factor de aceleración horizontal durante el sismo |
Ni | - | Fuerza Normal actuando en la superficie de deslizamiento |
Ti | - | Fuerza de corte actuando en la superficie de deslizamiento |
Ei ,Ei+1 | - | Fuerza ejercidas por bloques vecinos, inclinados desde el plano horizontal por el ángulo δ |
Fxi,Fyi | - | Otra fuerza horizontal y vertical actuando en el bloque |
M1i | - | Momento de Fuerzas Fxi ,Fyi rotando alrededor del punto M, el cual es el centro del segmento de la superficie de deslizamiento ith |
Ui | - | Presión de poro resultante en el segmento de la superficie de deslizamiento ith |
Las siguientes suposiciones se introducen en el método de Spencer para calcular el equilibrio límite de fuerzas y momento de bloques individuales:
- La división de los planos entre bloques son siempre verticales
- La línea de acción del peso del corte Wi pasa a través del centro del segmento de la superficie de deslizamiento por el punto M
- La fuerza normal Ni está activa en el centro del segmento ith segmento de la superficie de deslizamiento, en el punto M
- La inclinación de fuerzas Ei actuando entre bloques es constante para todos los bloques y es igual δ, solo en el punto final de la superficie de deslizamiento es δ = 0
La solución adopta las siguientes expresiones
| (1) |
| (2) |
| (3) |
| (4) |
| (5) |
Donde: | φi | - | ángulo de fricción interna del suelo en el segmento de la superficie de deslizamiento |
ci | - | cohesión del suelo en el segmento de la superficie de deslizamiento | |
αi | - | inclinación del segmento de la superficie de deslizamiento |
Representación de ecuaciones:
(1) la relación entre valores efectivos y totales de la fuerza Normal actuando en la superficie de deslizamiento.
(2) corresponde a las condiciones de Mohr-Coulomb representando la relación entre la fuerza normal y la fuerza de corte de un segmento determinado de la superficie de deslizamiento.
(3) la ecuación de la fuerza de equilibrio en dirección normal al segmento ith de la superficie de deslizamiento
(4) equilibrio a lo largo del segmento ith de la superficie de deslizamiento. SF es el factor de seguridad, el cual se utiliza para reducir los parámetros de suelo.
(5) Para la ecuación del momento de equilibrio del punto M. Donde ygi es la coordenada vertical del punto de aplicación del peso del bloque y yM es la coordenada vertical del punto M. Las ecuaciones modificadas (3) y (4) proveen la siguiente fórmula recursiva:
Esta fórmula permite calcular las fuerzas Ei actuando entre bloques de valores dados de δi y SF. E Esta solución asume que en una superficie plana el valor de E se conoce como E1 = 0.
Otra fórmula recursiva se deriva de la ecuación del momento de equilibrio (5) como:
Esta fórmula permite el cálculo para un valor dado de δ todos los brazos z de fuerzas actuando entre bloques, conociendo el valor a la izquierda de una superficie de deslizamiento original, donde Z1 = 0.
El factor de seguridad SF se determina empleando el siguiente proceso de iteración:
- El valor inicial de δ se asigna a cero δ = 0.
- El factor de seguridad SF para un valor determinado de δ sigue la siguiente ecuación (6), mientras se asume el valor En+1 = 0 de al final de la superficie de deslizamiento.
- El valor de δ es proporcionado por la ecuación (7) utilizando el valor de E determinado en el paso anterior con el requisito de tener el momento del último bloque igual a cero. La ecuación (7) no proporciona el valor de zn+1 ya que ésta es igual cero. Para éste valor se debe satisfacer la ecuación del momento de equilibrio (5).
- Se repiten los paso 2 y 3 hasta que el valor de δ se mantenga estable y no cambie.
Para que el proceso de iteración sea estable es necesario evitar soluciones inestables. Estas inestabilidades se producen en puntos donde la división por cero en expresiones (6) y (7) toma lugar. En la ecuación (7), la división por cero se encuentra para δ = π/2 o δ = -π/2. Por lo tanto, el valor del ángulo δ debe ser localizado dentro del intervalo (-π/2 ; π/2).
En la ecuación (6), la división por cero se presenta cuando:
Otro control para prevenir la inestabilidad numérica es verificar el parámetro mα
– se debe satisfacer la siguiente condición:
Por lo tanto, antes de ejecutar la iteración es necesario encontrar el valor mas alto SFmin que satisfaga las condiciones antes mencionadas. Los valores por debajo del valor crítico SFmin se encuentran en un área de soluciones inestables, por lo tanto se comienza con la iteración configurando SF a un valor "justo" por encima de SFmin y todos los valores SF resultantes del proceso de iteración son mayores a SFmin.
Generalmente los métodos rigurosos convergen mejor que los métodos simples (Bishop, Fellenius). Ejemplos con problemas convergentes incluyen dos secciones de superficie de deslizamiento empinada, geometría compleja, salto significativo en sobrecargas etc. Si no se obtiene resultado, recomendamos un pequeño cambio en los datos de entrada, ejemplo: superficie de deslizamiento menos empinada, ingreso de más puntos dentro de la superficie de deslizamiento, etc. o utilizar alguno de los métodos simples.
Bibliografía:
Spencer, E. 1967. A method of analysis of the stability of embankments assuming parallel interslice forces. Géotechnique, 17(1): 11–26.